Question

已知函數f（x）=sinx+acosx（x∈R），

π

4

是函數f（x）的一個零點．
（1）求a的值，并求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若α，β∈(0，

π

2

)，且f(α+

π

4

)=

10

5

，f(β+

3π

4

)=

3 5

5

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,兩角和與差的正弦函數

專題：計算題,三角函數的求值

分析：（1）由

π

4

是函數f（x）的一個零點知f(

π

4

)=sin

π

4

+acos

π

4

=0；從而求a的值并求函數的單調區間；
（2）由f(α+

π

4

)=

10

5

得

2

sinα=

10

5

；由f(β+

3π

4

)=

3 5

5

得

2

sin(β+

π

2

)=

3 5

5

；從而根據角的范圍求角的三角函數值，再由恒等變換求解．

解答： 解：（1）∵

π

4

是函數f（x）的一個零點，
∴f(

π

4

)=sin

π

4

+acos

π

4

=0．
∴a=-1；
∴f（x）=sinx-cosx
=

2

(

2

2

sinx-

2

2

cosx)
=

2

sin(x-

π

4

)．
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區間是[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）．
（2）∵f(α+

π

4

)=

10

5

，
∴

2

sinα=

10

5

．
∴sinα=

5

5

．
∵α∈(0，

π

2

)，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

．
∵f(β+

3π

4

)=

3 5

5

，
∴

2

sin(β+

π

2

)=

3 5

5

．
∴cosβ=

3 10

10

．
∵β∈(0，

π

2

)，
∴sinβ=

1-cos2β

=

10

10

．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．

點評：本題考查了三角函數的化簡與變換，屬于基礎題．