Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求，的值；

（2）若，，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2).

【解析】分析：的圖象在處的切線方程為，得出（1，）坐標帶入中，及=，即可解出，的值

（2）構造函數，在上的最大值為，問題等價于：，不等式恒成立，構造 >進行解決問題

詳解：，

（1），，

由，

得.

令，，

所以函數在上單調遞增，又，所以.

（2）令，因為當時，函數在上單調遞增，所以，

于是函數在上一定單調遞增.

所以在上的最大值為.

于是問題等價于：，不等式恒成立.

記 ，

則.

當時，因為，，所以，

則在區間上單調遞減，此時，，不合題意.

故必有.

若，由可知在區間上單調遞減，

在此區間上，有，與恒成立矛盾.

故，這時，在上單調遞增，

恒有，滿足題設要求.

所以，即.

所以的取值范圍為.

點晴：本題主要考察導數綜合題：能成立恒成立問題，這類型題目主要就是最值問題，學會對問題的轉化是關鍵，本題主要在做題的過程中構造函數后發現是解決本題的關鍵。