Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l：y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個公共點T．
（1）求橢圓E的方程及點T的坐標；
（2）設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA||PB|，并求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設短軸一端點為C（0，b），左右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，

則c2+b2=a2；

由題意，△F1F2C為直角三角形，

∴ ，解得b=c= a，

∴橢圓E的方程為 =1；

代人直線l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，

又直線l與橢圓E只有一個交點，則△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，

∴橢圓E的方程為 =1；

由b2=3，解得x=2，則y=﹣x+3=1，所以點T的坐標為（2，1）

（2）

證明：設P（x0，3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT，

得l′的參數方程為 ，

代人橢圓E中，得 +2 =6，

整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0；

設兩根為tA，tB，則有tAtB= ；

而|PT|2= =2 ，

|PA|= =| tA|，

|PB|= =| tB|，

且|PT|2=λ|PA||PB|，

∴λ= = = ，

即存在滿足題意的λ值．

【解析】（1）根據橢圓的短軸端點C與左右焦點F1、F2構成等腰直角三角形，結合直線l與橢圓E只有一個交點，利用判別式△=0，即可求出橢圓E的方程和點T的坐標；
（2）設出點P的坐標，根據l′∥OT寫出l′的參數方程，代人橢圓E的方程中，整理得出方程，再根據參數的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值．
本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓方程的綜合應用問題，考查了參數方程的應用問題，是難題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．