Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率是 ，拋物線E：x2=2y的焦點F是C的一個頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．
①求證：點M在定直線上；
②直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1 ， △PDM的面積為S2 ， 求 的最大值及取得最大值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得e= = ，拋物線E：x2=2y的焦點F為（0， ），

即有b= ，a2﹣c2= ，

解得a=1，c= ，

可得橢圓的方程為x2+4y2=1；

（2）

解：①證明：設P（x0，y0），可得x02=2y0，

由y= x2的導數為y′=x，即有切線的斜率為x0，

則切線的方程為y﹣y0=x0（x﹣x0），

可化為y=x0x﹣y0，代入橢圓方程，

可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2= ，即有中點D（ ，﹣ ），

直線OD的方程為y=﹣ x，可令x=x0，可得y=﹣ ．

即有點M在定直線y=﹣ 上；

②直線l的方程為y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），

則S1= |FG||x0|= x0（ +y0）= x0（1+x02）；

S2= |PM||x0﹣ |= （y0+ ） = x0 ，

則 = ，

令1+2x02=t（t≥1），則 = = = =2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ，

則當t=2，即x0= 時， 取得最大值 ，

此時點P的坐標為（ ， ）．

【解析】（I）運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標，以及橢圓的a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓的方程；（2）（i）設P（x0 ， y0），運用導數求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，可得中點D的坐標，求得OD的方程，再令x=x0 ， 可得y=﹣ ．進而得到定直線；（ii）由直線l的方程為y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0），運用三角形的面積公式，可得S1= |FG||x0|= x0（ +y0），S2= |PM||x0﹣ |，化簡整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，進而得到最大值及此時P的坐標．
本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率和拋物線的焦點坐標，考查直線和拋物線斜的條件，以及直線方程的運用，考查三角形的面積的計算，以及化簡整理的運算能力，屬于難題．