Question

【題目】已知橢圓C：+y2＝1，不與坐標軸垂直的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．

（1）若線段MN的中點坐標為 （1，），求直線l的方程；

（2）若直線l過點P（p，0），點Q（q，0）滿足kQM+kQN＝0，求pq的值．

Answer 1

【答案】（1）x+2y﹣2＝0；（2）pq＝4．

【解析】

(1)設M（x1，y1），N（x2，y2），代入橢圓方程，然后相減用點差法將中點公式代入，可求出直線M N的斜率，然后寫出直線方程.
(2)設出直線M N的方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理代入用M， N的坐標表示出kQM+kQN＝0的式子中，可求出答案.

（1）設M（x1，y1），N（x2，y2），則，兩式相減，可得.

，①

由題意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直線MN的斜率k＝＝﹣.

所以直線MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，

所以直線MN的方程x+2y﹣2＝0.

（2）由題意可知設直線MN的方程y＝k（x﹣p），

設M（x1，y1），N（x2，y2），

聯立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，

則x1+x2＝，x1x2＝，

由kQM+kQN＝0，則＝0，

即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，

∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，

化簡得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq＝0，

∴﹣+2pq＝0，

化簡得：2pq﹣8＝0，

∴pq＝4．