【題目】設函數
.
（1）證明：
，都有
；
（2）若函數
有且只有一個零點，求的極值.
【答案】（1）見解析；（2）
時，
的極大值為e1，極小值為0．
【解析】
（1）令
，求導得
，利用導數判斷出
的單調性，
從而求出的最大值，最大值小于0，則命題得證；
（2）由
得
，兩邊同時取對數整理得
，則的零點
個數等于
解的個數，令
，求導，求出
，得出
，令
，求導，借助
的單調性得
出
的符號，從而求出極值.
（1）證明：令，則
，
所以在
上單調遞增，在
上單調遞減，
所以的最大值為
，即
，
所以
，都有
．
（2）解：由得，則
，所以，
所以的零點個數等于方程解的個數，
令，則
，且
，
所以
在
上單調遞增，在
上單調遞減，又因為
，
且由（1）知，
，則當
時，
，
所以
時，
有且只有一個解，
所以若函數有且只有一個零點，則，此時，
∴
，
令，則
，
所以在
上單調遞減，在
上單調遞增，
，
所以當
時，
，當
時，
，當
時，，
∴當時，
，則
，則
，
同理可得：當
時，
；當
時，；
所以
和
分別是函數的極大值點和極小值點．
所以時，的極大值為e1，極小值為0．
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】請解答以下問題，要求解決兩個問題的方法不同.
（1）如圖1，要在一個半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形
，如何截��？并求出這個最大矩形的面積.
（2）如圖2，要在一個長半軸為2米，短半軸為1米的半個橢圓鐵板中截取一塊面積最大的矩形，如何截��？并求出這個最大矩形的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+y2＝1，不與坐標軸垂直的直線l與橢圓C相交于M，N兩點．
（1）若線段MN的中點坐標為 （1，
），求直線l的方程；
（2）若直線l過點P（p，0），點Q（q，0）滿足kQM+kQN＝0，求pq的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρ＝6sinθ，建立以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸的平面直角坐標系．直線l的參數方程是
，(t為參數)．
(1)求曲線C的直角坐標方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|=
，求直線的斜率k．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點
到定點
的距離比
到定直線
的距離小1.
（Ⅰ）求點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
任意作互相垂直的兩條直線
，分別交曲線
于點
和
.設線段
， 
的中點分別為
，求證：直線
恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求
面積的最小值.
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