Question

【題目】如圖， 分別是橢圓的左、右焦點， 是橢圓的頂點， 是直線與橢圓的另一個交點， .

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知的面積為，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意知為等邊三角形，從而得到的關系式，進而求得離心率；（2）首先根據橢圓的性質得到的關系式，然后設出直線的方程，并代入橢圓方程得到點坐標，從而求得，再根據三角形面積公式求得的值，進而求得橢圓的方程；別解：設，然后利用橢圓的定義表示出的長，再利用余弦定理得到的關系式，從而根據三角形面積公式求得的值，進而求得橢圓的方程.

試題解析：

（1）由題意可知， 為等邊三角形， ，所以.

（2）（ 方法一）， .

直線的方程可為．

將其代入橢圓方程，得

所以

由，

解得， ，

（方法二）設. 因為，所以．

由橢圓定義可知， ．

再由余弦定理可得， ．

由知， ， ，