Question

【題目】設函數f（x）= （a∈R）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在[3，+∞）上為減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= = ，

∵f（x）在x=0處取得極值，∴f′（0）=0，解得a=0．

當a=0時，f（x）= ，f′（x）= ，

∴f（1）= ，f′（1）= ，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為 ，化為：3x﹣ey=0；

（2）解法一：由（1）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，

由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．

當x＜x1時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時函數f（x）為減函數；

當x1＜x＜x2時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此時函數f（x）為增函數；

當x＞x2時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時函數f（x）為減函數．

由f（x）在[3，+∞）上為減函數，可知：x2= ≤3，解得a≥﹣ ．

因此a的取值范圍為： ．

解法二：由f（x）在[3，+∞）上為減函數，∴f′（x）≤0，

可得a≥ ，在[3，+∞）上恒成立．

令u（x）= ，u′（x）= ＜0，

∴u（x）在[3，+∞）上單調遞減，

∴a≥u（3）=﹣ ．

因此a的取值范圍為：

【解析】（1）f′（x）= ，由f（x）在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）解法一：由（1）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．對x分類討論：當x＜x1時；當x1＜x＜x2時；當x＞x2時．由f（x）在[3，+∞）上為減函數，可知：x2= ≤3，解得即可．解法二：“分離參數法”：由f（x）在[3，+∞）上為減函數，可得f′（x）≤0，可得a≥ ，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）= ，利用導數研究其最大值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．