Question

設函數f(x)的定義域、值域均為R，f(x)的反函數f^-1(x)，且對任意實數x，均有f(x)+f^-1(x)＜x，定義數列{a_n}:a₀=8,a₁=10,a_n=f(a_n-1),n=1,2,…

(1)求證：a_n+1+a_n-1＜a_n(n=1,2,…)；

(2)設b_n=a_n+1-2a_n，n=0,1,2,…,求證：b_n＜(-6)()ⁿ(n∈N^*).

(3)是否存在常數A和B，同時滿足

①當n=0及n=1時，有a_n=成立；

②當n=2,3,…時，有a_n＜成立.

如果存在滿足上述條件的實數A、B，求出A、B的值；如果不存在，證明你的結論.

Answer 1

答案：(1)證明：∵f(x)+f^-1(x)＜x,令x=a_n,∴f(a_n)+f^-1(a_n)＜a_n,

即a_n+1+a_n-1＜a_n.                                                            

(2)證明：∵a_n+1＜a_n-a_n-1,∴a_n+1-2a_n＜(a_n-2a_n-1),

即b_n＜b_n-1.∵b₀=a₁-2a₀=-6,

∴b_n＜()ⁿb₀=(-6)()ⁿ(n∈N^*).                                                

(3)解：由(2)知：a_n+1＜2a_n+(-6)()ⁿ,

假設存在常數A和B，使得a_n=對于n=0、1成立，則a₀=A+B=8,a₁==10,

解得A=B=4.                                                                

下面用數學歸納法證明a_n＜對于n=2,3,…成立.

①當n=2時，由a_n+1+a_n-1＜a_n得a₂＜a₁-a₀=×10-8=17=,

∴n=2時，a_n＜成立.

②假設n=k(k≥2)時,不等式成立，即a_k＜,

則a_k+1＜2a_k+(-6)()^k＜2×+(-6)()^k=.

這說明n=k+1時，不等式成立.

綜合①②可知：a_n＜對于n=2,3,…成立.

∴A=B=4滿足題設.