Question

（Ⅰ）設(shè)f（x）=（1+x）ⁿ，f（x）展開(kāi)式中x²的系數(shù)是10，求n的值；
（Ⅱ）利用二項(xiàng)式定理證明：

n

k=1

(-1)k+1k

C

k n

=0．

Answer 1

分析：（I）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2，列出方程求出n．
（II）利用二項(xiàng)式定理將（1-x）ⁿ展開(kāi)，對(duì)等式求導(dǎo)，再對(duì)求導(dǎo)后的等式中的x賦值1得到待證等式．

解答：解（I）（1+x）ⁿ展開(kāi)式中的x²的系數(shù)是C_n²=10，
即

n(n-1)

2

=10，得n=5
（II）由（1-x）ⁿ=C_n⁰-C_n¹x++（-1）²C_n¹x²+（-1）ⁿC_nⁿxⁿ
兩邊求導(dǎo)得-n（1-x）^n-1=-C_n¹+2C_n²x++（-1）^rkC_n^rx^n-r++（-1）ⁿnC_nⁿx^n-1
兩邊同時(shí)乘以-1，再令x=1得

n

n=1

(-1)k+1k

C

k n

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題、利用賦值法求展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題．