Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤f(

π

6

)對一切x∈R恒成立，則
①f(

11π

12

)=0；
②f(

7π

10

)＜f(

π

5

)；
③f（x）是奇函數；
④f（x）的單調遞減區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）；
⑤f（x）的圖象與過點（a，|a|+|b|）的所有直線都相交．
以上結論正確的是

①②④

（寫出正確結論的編號）

Answer 1

分析：先化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得到f（

π

6

）是三角函數的最大值，求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），f(x)≤f(

π

6

)對一切x∈R恒成立
∴sin（2×

π

6

+θ）=1，即2×

π

6

+θ=

π

2

+2kπ
∴θ=2kπ+

π

6

∴f（x）=

a2+b2

sin（2x+2kπ+

π

6

）=

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
對于①，f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

π

6

）=0，故①正確；
對于②，f（

7π

10

）=

a2+b2

sin（2×

7π

10

+

π

6

）＜0，f（

7π

5

）=

a2+b2

sin（2×

7π

5

+

π

6

）＞0，故②正確；
對于③，f（x）不是奇函數也不是偶函數，故③不正確；
對于④，

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z），故④正確；
對于⑤，直線與函數f（x）的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，且|a|+|b|＞

a2+b2

，而此不等式可能成立，故f（x）的圖象與過點（a，|a|+|b|）的所有直線有直線與它不相交．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了三角函數的性質，研究性質常用整體處理的思想方法，同時考查了分析求解的能力，屬于中檔題．