Question

【題目】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)是虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值等于____________.

Answer 1

【答案】4

【解析】

先由雙曲線的幾何性質(zhì)寫(xiě)出B和F的坐標(biāo)，并求得|BF|的長(zhǎng)，然后設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為E，由雙曲線的定義可知，|PF|﹣|PE|＝2a，而△BPF的周長(zhǎng)為|BF|+|PF|+|PB|＝|BF|+2a+（|PE|+|PB|），求出|PE|+|PB|的最小值即可得△BPF周長(zhǎng)的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，可得解．

∵雙曲線，∴F，

如圖所示，不妨設(shè)B為x軸上方的虛軸端點(diǎn)，則B（0，1），|BF|＝2，

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為E，由雙曲線的定義可知，|PF|﹣|PE|＝2a，即|PF|＝|PE|，

∴△BPF的周長(zhǎng)為|BF|+|PF|+|PB|＝|BF|+（|PE|）+|PB|＝2|PE|+|PB|≥2|BE|＝4，

當(dāng)且僅當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．

所以△BPF周長(zhǎng)的最小值等于4．

故答案為：4．