Question

【題目】設數列{an}，對任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p＝2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常數）.

（1）當k＝0，b＝3，p＝﹣4時，求a1+a2+a3+…+an；

（2）當k＝1，b＝0，p＝0時，若a3＝3，a9＝15，求數列{an}的通項公式；

（3）若數列{an}中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.當k＝1，b＝0，p＝0時，設Sn是數列{an}的前n項和，a2﹣a1＝2，試問：是否存在這樣的“封閉數列”{an}，使得對任意n∈N*，都有Sn≠0，且.若存在，求數列{an}的首項a1的所有取值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）an＝2n﹣3（3）存在；a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10

【解析】

（1）當k＝0，b＝3，p＝﹣4時，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），再寫一式，兩式相減，可得數列{an}是以首項為1，公比為3的等比數列，從而可求a1+a2+a3+…+an；

（2）當k＝1，b＝0，p＝0時，n（a1+an）＝2（a1+a2+…+an），再寫一式，兩式相減，可得數列{an}是等差數列，從而可求數列{an}的通項公式；

（3）確定數列{an}的通項，利用{an}是“封閉數列”，得a1是偶數，從而可得，再利用，驗證，可求數列{an}的首項a1的所有取值.

（1）當k＝0，b＝3，p＝﹣4時，3（a1+an）﹣4＝2（a1+a2+…+an），①

用n+1去代n得，3（a1+an+1）﹣4＝2（a1+a2+…+an+an+1），②

②﹣①得，3（an+1﹣an）＝2an+1，an+1＝3an，

在①中令n＝1得，a1＝1，則an≠0，∴，

∴數列{an}是以首項為1，公比為3的等比數列，

∴a1+a2+a3+…+an；

（2）當k＝1，b＝0，p＝0時，n（a1+an）＝2（a1+a2+…+an），③

用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）＝2（a1+a2+…+an+an+1），④

④﹣③得，（n﹣1）an+1﹣nan+a1＝0，⑤

用n+1去代n得，nan+2﹣（n+1）an+1+a1＝0，⑥

⑥﹣⑤得，nan+2﹣2nan+1+nan＝0，即an+2﹣an+1＝an+1﹣an，

∴數列{an}是等差數列.

∵a3＝3，a9＝15，∴公差，∴an＝2n﹣3.

（3）由（2）知數列{an}是等差數列，∵a2﹣a1＝2，∴an＝a1+2（n﹣1）.

又{an}是“封閉數列”，得：對任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m﹣1）＝a1+2（p﹣1），

得a1＝2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶數，

又由已知，，故，

一方面，當時，數列{an}中每一項均為正數，

故對任意n∈N*，都有，

另一方面，當a1＝2時，Sn＝n（n+1），，

則，

取n＝2，則，不合題意；

當a1＝4時，Sn＝n（n+3），，則，符合題意；

當a1≥6時，Sn＝n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，

則當a1≥6時，均符合題意；

又，

∴a1＝4或a1＝6或a1＝8或a1＝10.