Question

【題目】等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，且滿足（如圖1），將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接， （如圖2）

（1）求證： 平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：(1) 由 ，等邊三角形的邊長(zhǎng)為3.所以可得,所以在三角形ADE翻折過程中始終成立.又由于成直二面角.由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得平面.

（2）由于平面 平面BCED.假設(shè)存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作BD的垂線，垂足為H.則為所求的角.假設(shè)BP的長(zhǎng)為x，根據(jù)題意分別求出相應(yīng)的線段.即可得結(jié)論.

(1) 因?yàn)榈冗?/span>△的邊長(zhǎng)為3,且 ,

所以, ．

在△中, ,

由余弦定理得．

因?yàn)?/span>,

所以． （4分）

折疊后有

因?yàn)槎�面�?/span>是直二面角,所以平面 平面

又平面 平面 ,平面, ,

所以平面（6分）

（2）由(1)的證明,可知,平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖

設(shè) ,

則, ,

所以, ,

所以（8分）

因?yàn)?/span>平面,

所以平面的一個(gè)法向量為

因?yàn)橹本�與平面所成的角為,

所以

, （10分）

解得

即,滿足,符合題意

所以在線段上存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為,此時(shí)（12分）