【題目】在四棱錐
中，底面
是矩形， 
平面
， 
是等腰三角形， 
， 
是
的一個三等分點（靠近點
），
與
的延長線交于點
，連接
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值
【答案】(1)證明見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：（I）由線面垂直的性質可得
，由矩形的性質可得
，從而由線面垂直的判定定理可得
平面
，進而由面面垂直的判定定理可得結論；（II）以
， 
， 
分別為
， 
， 
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面
與平面
的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得夾角余弦值，利用同角三角函數之間的關系可得正切值.
試題解析：（Ⅰ）證明：因為
平面
，所以
又因為底面
是矩形，所以
又因為
，所以
平面
.
又因為
平面
，所以平面
平面
.
（Ⅱ)解：方法一：（幾何法)過點
作
，垂足為點
，連接
.
不妨設
，則
.
因為
平面
，所以
.
又因為底面
是矩形，所以
.
又因為
，所以
平面
，所以A 
.
又因為
，所以
平面
，所以
所以
就是二面角
的平面角.
在
中，由勾股定理得
，
由等面積法，得
，
又由平行線分線段成比例定理，得
.
所以
.所以
.
所以
.
所以二面角
的正切值為
.
方法二：（向量法）以
， 
， 
分別為
， 
， 
軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
不妨設
，則由（Ⅱ）可得
， 
.
又由平行線分線段成比例定理，得
，
所以
，所以
.
所以點
， 
， 
.
則
， 
.
設平面
的法向量為
，則
由
得
得
令
，得平面
的一個法向量為
；
又易知平面
的一個法向量為
；
設二面角
的大小為
，則
.
所以
.所以二面角
的正切值為
.
【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f(x)＝a2x2(a＞0)，g(x)＝bln x.
（1）若函數y＝f(x)圖象上的點到直線x－y－3＝0距離的最小值為2
，求a的值；
（2）對于函數f(x)與g(x)定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m都成立，則稱直線y＝kx＋m為函數f(x)與g(x)的“分界線”．設a＝
，b＝e，試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=(x2-ax+a)e-x，a∈R
（Ⅰ）求函數f(x)的單調區間；
（Ⅱ）設g(x)=f’(x)，其中f’(x)為函數f(x)的導函數.判斷g(x)在定義域內是否為單調函數，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為減少汽車尾氣排放,提高空氣質量,各地紛紛推出汽車尾號限行措施.為做好此項工作，某市交警支隊對市區各交通樞紐進行調查統計，表中列出了某交通路口單位時間內通過的1000輛汽車的車牌尾號記錄：
由于某些數據缺失，表中以英文字母作標識.請根據圖表提供的信息計算：
（Ⅰ）若采用分層抽樣的方法從這1000輛汽車中抽出20輛，了解駕駛員對尾號限行的建議，應分別從一、二、三、四組中各抽取多少輛？
（Ⅱ）以頻率代替概率，在此路口隨機抽取4輛汽車，獎勵汽車用品.用
表示車尾號在第二組的汽車數目，求
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：極坐標與參數方程
在極坐標系中，已直曲線
,將曲線C上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到曲線C1，又已知直線
，且直線
與C1交于A、B兩點，
（1）求曲線C1的直角坐標方程，并說明它是什么曲線；
（2）設定點
, 求
的值；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)，若f(x)的圖象如圖所示，則函數g(x)＝ax＋b的圖象大致為( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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