Question

已知橢圓的離心率為,且過點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線A   C、BD過原點O，若,
（i） 求的最值．
（ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值；

Answer 1

(1). (2)(i)的最大值為2.  (ii)
.即,四邊形ABCD的面積為定值        

試題分析：(1)由題意，，又，              2分
解得,橢圓的標準方程為.                      4分
(2)設直線AB的方程為，設
聯立，得 
     -①
                                                    6分
  
                            7分

=                          8分

                                                    9分
(i)


當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2.
又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2.              11分
(ii)設原點到直線AB的距離為d，則

.
即,四邊形ABCD的面積為定值                      13分
點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯立方程，同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解；而對于最值問題，則可將該表達式用直線斜率k表示，然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式.