Question

已知直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)y²=2x有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，①求證OA⊥OB；②計(jì)算△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用判別式大于0，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）①利用韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積公式，即可證明OA⊥OB；
②利用三角形的面積公式，即可計(jì)算△AOB的面積．

解答：解：（1）由

y=x+b y2=2x

得，y²-2y+2b=0，由△=4-8b＞0得，b＜

1

2

…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)b=-2時(shí)，由（1）知y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
①

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

y 2 1 y 2 2

4

+y₁y₂=0，所以O(shè)A⊥OB…（7分）
②因?yàn)閤₁x₂=

y 2 1 y 2 2

4

=4，x₁+x₂=（y₁+2）+（y₁+2）=y₁+y₂+4=6
所以S△OAB=

1

2

|OA||OB|=

1

2

x 2 1 + y 2 1

x 2 2 + y 2 2

=

1

2

x 2 1 +2x1

x 2 2 +2x2

=

1

2

x 2 1 x 2 2 +2x1x2(x1+x2+2)

=2

10

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．