Question

已知直線y=x+b與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點，若OA⊥OB，（O為坐標原點）且S_△AOB=2

5

，求拋物線的方程．

Answer 1

分析：將直線方程與拋物線方程聯立，根據韋達定理可求得x₁x₂和y₁y₂的關于p的表達式，根據OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得p與b的關系式，
再由S_△AOB=2

5

，從而得到拋物線方程．

解答：解：設A（x₁，y₁ ）、B（x₂，y₂ ）
由

y=x+b y2=2px

得x²-2（p-b）x+b²=0
則x₁+x₂=2（p-b），x1x2=b2 
所以y₁+y₂=2p，y₁y₂=2pb
又因為OA⊥OB，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=-1即

2pb

b2

=

2p

b

=-1
所以p=-

b

2

，所以x₁+x₂=-3b，y₁+y₂=-b，y₁y₂=-b²
又因為S△OAB=2

5

，|AB|=

10

b，原點O到AB的距離d=

|b|

2

所以

1

2

|AB|d=2

5

得b=±2，所以p=±1，
又因為p＞0，所以p=1，y²=2x，
則拋物線的方程為y²=2x．

點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系，解題時直線與拋物線的聯立是關鍵．