Question

【題目】定義在R上的函數f(x)滿足，.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)求函數g(x)的單調區間；

(3)給出定義：若s，t，r滿足，則稱s比t更接近于r，當x≥1時，試比較和哪個更接近，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案不唯一，見解析；（3）當時，比更靠近.理由見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，利用賦值法，求出f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），得到f（0）＝1．然后求解f′（1），即可求出函數的解析式．

（2）求出函數的導數g′（x）＝ex-a(x-1)，結合a≥0，a＜0，分求解函數的單調區間即可．

（3）構造，通過函數的導數，判斷函數的單調性，結合當1≤x≤e時，當1≤x≤e時，推出|p（x）|＜|q（x）|，說明比ex﹣1+a更靠近lnx．當x＞e時，通過作差，構造新函數，利用二次求導，判斷函數的單調性，證明比ex﹣1+a更靠近lnx．

(1)，令x=1解得f(0)=1，

由，令x=0得，，

∴.

(2)∵，

∴，

①當時，總有，函數在R上單調遞增；

②當時，由得函數在上單調遞增，由得函數在上單調遞減；

綜上，當時，總有，函數在R上單調遞增；當時，由得函數在上單調遞增，由得函數在上單調遞減.

(3)

，

設，，得在[1，+∞]上遞減，

所以當1≤x≤e時，；

當x>e時，<0，而，

所以在[1，+∞)上遞增，

則在[1，+∞)上遞增，.

①當時，，

∴在[1，+∞)上遞減，

∴

∴比更靠近；

②當時，

∴，

∴

∴遞減，

∴

∴比更靠近；

綜上所述，當時，比更靠近.