Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別是的中點，點在上，且，則二面角的余弦值為          ；點到平面的距離為           。

Answer 1

方法一：如圖，取的中點，連結，則。

∵三棱柱為在直三棱柱，
∴面，∴。
過作于，連結，則。
∴為二面角的平面角。
在中，，，則，得。
而二面角與二面角互補，故二面角的余弦值為。
設點到平面的距離為，由，得，即，∴。
∵點是的中點，∴到平面的距離與點到平面的距離相等，為。
方法二：建立如圖所示直角坐標系，則，,，，，。

向量為平面的一個法向量。
，。
設為平面的法向量，則，即，取，得平面的一個法向量為。
得。由圖知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為。
，則點到平面的距離為。