Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M為A₁D中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn).
（1）求異面直線MN和AB所成的角；
（2）求證：MN⊥AB₁；

Answer 1

解：（1）在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M為A₁D中點(diǎn)，連接AD₁，則M為A₁D和AD₁的交點(diǎn)
在△AD₁C中，M、N分別為AD₁和AC之中點(diǎn)
∴MN//D­₁C，而D₁C和DC所成角為45°，又DC//AB
∴MN和AB所在異面角為45°。（6分）
(2)∵M(jìn)為A₁D中點(diǎn)，則M也為AD₁中點(diǎn)
在△AD₁C中，M，N分別為AD₁，AC中點(diǎn)
∴MN//D₁C，又D₁C⊥DC₁且DC₁//AB₁
∴MN⊥AB₁………………………………………（12分）

略