已知雙曲線C：
（a>0,b>0）的左、右焦點分別為
、
，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為
.
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）設過的直線l與C的左、右兩支分別交于A、B兩點，且
，證明：
、
、
成等比數列.
（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】（Ⅰ）由題設知
，即
，故
.
所以C的方程為
.
將y=2代入上式，求得
.
由題設知，
，解得
.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，C的方程為
. ①
由題意可設
的方程為
，
，代入①并化簡得
.
設
，
，則
，
，
，
.
于是
，
由
得
，即
.
故
，解得
，從而
.
由于
，
.
故
，
.
因而
，所以
、
、
成等比數列.
（1）利用待定系數法求解，利用已知條件建立含義
的等量關系，進而確定曲線方程；(2)利用直線與曲線聯立方程組，借助韋達定理和弦長公式將、、表示出來，然后借助證明等比中項。
【考點定位】本題考查雙曲線方程與直線與雙曲線的位置關系，考查舍而不求的思想以及計算能力.
教材全解字詞句篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（08年濰坊市六模）（12分）已知雙曲線C：
（a＞0，b＞0），B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足
、
、
成等比數列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．
�。�1）求證：
；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
=1（a＞0,b＞0）,B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸的正半軸，且滿足|
|、|
|、|
|成等比數列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.（1）求證：
·
=
·
；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
=1(a＞0,b＞0)，B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且|
|、|
|、|
|成等比數列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.
（1）求證：
·
=
·
；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線離心率e的取值范圍.
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省揚州中學高三（上）周練數學試卷（12.22）（解析版） 題型：填空題
（a＞0）的一條漸近線與直線l：2x-y+1=0垂直，則實數a= ．查看答案和解析>>
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