Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，橢圓：，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，其切線長(zhǎng)為橢圓的短軸長(zhǎng).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（1）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，求出，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求解；

（2）根據(jù)已知條件求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求出坐標(biāo)關(guān)系，求出直線的斜率，可求出直線方程，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出結(jié)論.

解：（Ⅰ）根據(jù)題目條件可知：，

解得：.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，可得，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（Ⅱ）直線的斜率為，

因?yàn)?/span>，所以，

直線的直線方程為：

與橢圓的方程聯(lián)立可得：

，，

，

則.∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴直線的直線方程為：，

則點(diǎn)解得，

，所以.