Question

【題目】將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象.

（Ⅰ）寫出函數的解析式；

（Ⅱ）若對任意 ， 恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）求實數和正整數，使得在上恰有個零點.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據圖像變換得函數的解析式；（2）先求 在 值域，再轉化研究對應二次不等式在恒成立，結合二次函數圖像可得 ，解不等式可得實數的取值范圍；(3)轉化研究對應函數圖像在一個周期上的交點，再根據周期性確定實數和正整數，

試題解析：解：（Ⅰ） ；

（Ⅱ）設 則，

可化為，

設， ，則的圖象是開口向上的拋物線一段，

當且僅當，即，

所以的取值范圍是. 注：該小題也可采用分離參數求解.

（Ⅲ）問題可轉化為研究直線與曲線的交點情況.

在上的草圖為：

當或時，直線與曲線沒有交點；

當或時，直線與曲線 上有1個交點，由函數的周期性可知，此時；

當時，直線與曲線 上有2個交點，由函數的周期性可知，直線直線與曲線 上總有偶數個交點；

當時，直線與曲線 上有3個交點，由函數的周期性及圖象可知，此時.

綜上所述，當， 或， ，或時， 在上恰有個零點.