Question

已知函數f(x)=ax³+3x²-6ax-11,g(x)=3x²+6x+12和直線m:y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線?如果存在,求出k的值;如果不存在,說明理由.

Answer 1

(1) a=-2  (2) 公切線是y=9,此時k=0

(1)f'(x)=3ax²+6x-6a,f'(-1)=0,
即3a-6-6a=0,∴a=-2.
(2)存在.∵直線m恒過定點(0,9),直線m是曲線y=g(x)的切線,設切點為(x₀,3+6x₀+12),
∵g'(x₀)=6x₀+6,
∴切線方程為y-(3+6x₀+12)=(6x₀+6)(x-x₀),將點(0,9)代入,得x₀=±1,
當x₀=-1時,切線方程為y=9;
當x₀=1時,切線方程為y=12x+9.
由f'(x)=0得-6x²+6x+12=0,
即有x=-1或x=2,
當x=-1時,y=f(x)的切線方程為y=-18;
當x=2時,y=f(x)的切線方程為y=9.
∴公切線是y=9.
又令f'(x)=12得-6x²+6x+12=12,
∴x=0或x=1.
當x=0時,y=f(x)的切線方程為y=12x-11;
當x=1時,y=f(x)的切線方程為y=12x-10,
∴公切線不是y=12x+9.
綜上所述公切線是y=9,此時k=0.