Question

設a為實數，函數f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調區間及極值；
(2)求證：當a>ln2－1且x >0時，e^x>x²－2ax＋1

Answer 1

(1)     (2)見解析

試題分析：(1)首先求出的導數，解方程，進一步得到不等式與的解集，從而得到函數的單調區間和極值.
(2)欲證當a>ln2－1且x >0時，e^x>x²－2ax＋1，
令
則只需證當時，
從而轉化為利用導數求的最小值問題.
試題解析：解：（1）由知
令得于是當變化時，的變化情況如下表：

	－	0	+
	單調遞減		單調遞增

 
故的單調遞減區間是，間調遞增區間是
在處取得極小值，極小值為                  6分
（2）設，于是
由（1）知，當時，
最小值為
于是對任意的，都有，所以在內單調遞增.
于是當時，對任意
都有
而，從而對任意，
即：故，            14分