Question

【題目】已知被直線， 分成面積相等的四個部分，且截軸所得線段的長為2．　

（1）求的方程；

（2）若存在過點的直線與相交于， 兩點，且點恰好是線段的中點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）被直線， 分成面積相等的四個部分說明圓心在直線的交點，再根據截得x軸線段長求出半徑即可；（2）根據平面幾何知識知，“點是線段的中點”等價于“圓上存在一點使得的長等于的直徑”，轉化為，即，從而求解.

試題解析：

（1）設的方程為，

因為被直線分成面積相等的四部分，

所以圓心一定是兩直線的交點，

易得交點為，所以.

又截x軸所得線段的長為2，所以.

所以的方程為.

（2）法一：如圖， 的圓心，半徑，

過點N作的直徑，連結.

當與不重合時， ，

又點是線段的中點；

當與重合時，上述結論仍成立.

因此，“點是線段的中點”等價于“圓上存在一點使得的長等于的直徑”.

由圖可知，即，即.

顯然，所以只需，即，解得.

所以實數的取值范圍是.

法二：如圖， 的圓心，半徑，連結，

過作交于點，并設.

由題意得，

所以，

又因為，所以，

將代入整理可得，

因為，所以，，解得.