Question

設M在曲線y=e^x+

1

ex

上，N點在y=

3

2

x上，則|MN|的最小值為（　　）

• A、

  13

  13

  （4-3ln2）
• B、

  13

  13

  （3-3ln2）
• C、

  13

  13

  （5-3ln2）
• D、

  13

  13

  （3-2ln2）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，利用平移切線法求出和直線y=

3

2

x平行的切線的切點坐標，利用點到直線的距離公式即可得到結論．

解答： 解：函數的導數為f′（x）=e^x-e^-x，
由f′（x）=e^x-e^-x=

3

2

，
即2（e^x）²-3e^x-2=0，
解得e^x=2，即x=ln2，
此時y=e^ln2+

1

eln2

=2+

1

2

=

5

2

，
即和直線y=

3

2

x即3x-2y=0平行的切線的切點坐標為（ln2，

5

2

），
則|MN|的最小值d=

|3ln2-2× 5 2 |

32+22

=

|3ln2-5|

13

=

5-3ln2

13

=

13

13

（5-3ln2），
故選：C．

點評：本題主要考查兩點間的距離的計算，求函數的導數，利用導數法求出切點坐標是解決本題的關鍵．