Question

(本小題滿分13分)

已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

解：（Ⅰ），由，即，

解得或，由于，所以，則．    (4分)

(Ⅱ)由(1)得，知的定義域?yàn)?sub>，又

，由于，令，得，

當(dāng)時(shí)，，知在時(shí)單調(diào)遞減，

同理，知在時(shí)單調(diào)遞增．　　　　　　　　　　　（６分）

所以，令，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以的取值范圍是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８分）

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點(diǎn)，由知過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　（９分）

令得，即切線與直線的交點(diǎn)為，令，得，即切線與直線的交點(diǎn)為，又直線與直線的交點(diǎn)為，　（10分）

從而所圍成的三角形面積為：，故所圍成的三角形面積為定值．                   ( 13分)