Question

【題目】已知數(shù)列 ，…，Sn是其前n項(xiàng)和，計(jì)算S1、S2、S3 ， 由此推測(cè)計(jì)算Sn的公式，并給出證明．

Answer 1

【答案】解：S1= = ；

S2= + = （1﹣ ）+ （ ﹣ ）= ；

S3= + + = （1﹣ + ﹣ + ﹣ ）= （1﹣ ）= ．

可得 ；

猜測(cè) （n∈N*）．

（方法一）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=1時(shí)，S1= = ，猜想成立；

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)猜想成立．即Sk= ，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有

= = ，

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．

綜上，對(duì)任意n∈N*，猜想成立．

（方法二）由 = （ ﹣ ），

可得Sn= + +…+ +

= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）

= （1﹣ ）=

【解析】直接計(jì)算可得S1、S2、S3，由此猜測(cè) （n∈N*）．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和裂項(xiàng)相消求和，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．