Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

（1）證明：PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（3）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）[解法一] 如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣ ， ，0），P（0，0，2）．

證明：易得 =（0，1，﹣2）， =（2，0，0），于是 =0，所以PC⊥AD．

[解法二] 證明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，

又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，

所以PC⊥AD．

（2）[解法一] 解： =（0，1，﹣2）， =（2，﹣1，0），設平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z），則 即

取z=1，則以 =（1，2，1）．又平面PAC的一個法向量為 =（1，0，0），于是cos＜ ＞= = ，sin＜ ＞=

所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為

[解法二] 解：如圖，作AH⊥PC于點H，連接DH，

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，從而∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH= ，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH= = ，因此sin∠AHD= = ．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值為

（3）解法一：設E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得 =（ ，﹣ ，h）．由 =（2，﹣1，0），故cos＜ ＞= = =

所以 =cos30°= ，解得h= ，即AE= ．

[解法二] 解：如圖，因為∠ADC＜45°，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，

設交點為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補角）為異面直線BE與CD所成的角．

由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD= ，sin∠ADC= ，故sin∠AFB= ．

在△AFB中，由 ，AB= ，sin∠FAB=sin135°= ，可得BF= ，

由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF= ，

設AE=h，在RT△EAF中，EF= = ，

在RT△BAE中，BE= = ，

在△EBF中，因為EF＜BE，從而∠EBF=30°，

由余弦定理得到，cos30°= ，

解得h= ，

即AE= ．

【解析】解法一（1）以A為原點，建立空間直角坐標系，通過得出 =0，證出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一個法向量，利用兩法向量夾角求解．（3）設E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜ ＞=cos30°= ，得出關于h的方程求解即可．解法二：（1）通過證明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于點H，連接DH，∠AHD為二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因為∠ADC＜45°，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF，故∠EBF（或其補角）為異面直線BE與CD所成的角．在△EBF中，因為EF＜BE，從而∠EBF=30°，由余弦定理得出關于h的方程求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解用空間向量求直線間的夾角、距離的相關知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．