Question

求證：lnx＜x＜e^x時，x＞0．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數，分別設設f（x）=lnx-x；g（x）=x-e^x，分別求導，求出函數的最大值與0的關系，即可證明

解答： 證：設f（x）=lnx-x；
∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0時，即0＜x＜1時，函數f（x）單調遞增，
當f′（x）＞0時，即x＞1時，函數f（x）單調遞減，
故當x=1時函數有最大值，f（x）_max=f（1）=-1，
故f（x）=lnx-x＜0；
∴lnx＜x；
令g（x）=x-e^x，
g′（x）=1-e^x，
∵x＞0，
∴g′（x）＜0；
∴函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴g（x）＜1-e＜0；
∴x＜e^x，
∴lnx＜x＜e^x，

點評：本題考查函數導數符號和函數單調性的關系，以及通過求導，利用函數單調性證明不等式的方法．