Question

給出下列命題：
（1）設隨機變量X～N（1，5²），且P（X≤0）=P（X＞a-2），則實數a的值為4．
（2）已知事件A、B是相互獨立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，則P（

.

A

B）=0.51（

.

A

表示事件A的對立事件）．
（3）（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項展開式中，共有4個有理項．
（4）由曲線y=3-x²和直線y=2x所圍成的面積為

32

3

．
則其中真命題的序號是（　　）

• A、（1）、（2）
• B、（1）、（3）
• C、（2）、（3）
• D、（1）、（2）、（3）、（4）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：概率與統計

分析：（1）依題意，知P（X≤0）=P（X＞2）=P（X＞a-2），即a-2=2，于是可求得實數a的值，可判斷（1）；
（2）利用相互獨立事件與對立事件的概率公式，可知P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B）=[1-P（A）]P（B），計算后可判斷（2）（

.

A

表示事件A的對立事件）；
（3）利用（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項展開式的通項公式T_r+1=

C

r 18

•(

3	x

)18-r•(

1

x

)r=

C

r 18

•x6-

5

6

r（0≤r≤18），令6-

5r

6

為整數，可求得r的值，從而可判斷（3）；
（4）作出曲線y=3-x²和直線y=2x所圍成的圖形，設其面積為S，利用微積分基本定理計算后可判斷（4）．

解答： 解：對于（1），∵隨機變量X～N（1，5²），
∴P（X≤0）=P（X＞2），
∵P（X≤0）=P（X＞a-2），
∴a-2=2，解得：a=4，即實數a的值為4，故（1）正確；
對于（2），事件A、B是相互獨立事件，P（A）=0.15，P（B）=0.60，
則P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B）=[1-P（A）]P（B）=0.85×0.60=0.51（

.

A

表示事件A的對立事件），故（2）正確；
對于（3），（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項展開式中，T_r+1=

C

r 18

•(

3	x

)18-r•(

1

x

)r=

C

r 18

•x6-

5

6

r（0≤r≤18），
當r=0、6、12、18時，6-

5r

6

為整數，即（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二項展開式中共有4個有理項，故（3）正確；
對于（4），由曲線y=3-x²和直線y=2x所圍成的圖形如下，設陰影部分的面積為S，

由

y=3-x2 y=2x

得：x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
則S=

∫

1 -3

（3-x²-2x）dx=（3x-

x3

3

-x²）

|

1 -3

=（2-

1

3

）-（-9+9-9）=

32

3

，故（4）正確．
綜上所述，其中真命題的序號是：（1）（2）（3）（4）．
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查正態分布、概率與統計、微積分基本定理及二項式定理的應用，屬于難題．