Question

【題目】某倉庫為了保持庫內溫度，四周墻上裝有如圖所示的通風設施，該設施的下部是等邊三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圓，點E為AB的中點．△EMN是通風窗，（其余部分不通風）MN是可以沿設施的邊框上下滑動且保持與AB平行的伸縮桿（MN和AB不重合）．

（1）設MN與C之間的距離為x米，試將△EMN的面積S表示成的函數；

（2）當MN與C之間的距離為多少時，△EMN面積最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）本題為分類求等腰三角形面積：當MN在三角形區域內滑動時，利用直角三角形求高及底邊長；當MN在半圓形區域滑動即時，利用圓的方程求底邊長（2）求分段函數最值，先分兩段分別求最值：一段為二次函數最值，利用對稱軸與定義區間位置關系即得；另一段可轉化為二次函數或利用基本不等式求最值，也可結合導數求最值

試題解析：（1）①當MN在三角形區域內滑動時

即 是等腰三角形，

連接EC交MN于P點，則PC=x，PN=，

的面積

②當MN在半圓形區域滑動即時

所以

（2）時，的對稱軸為

所以．

時，

當且僅當取等號，

又所以三角形EMN的面積最大值為．