Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求函數在上的最小值；

（Ⅲ）若函數，當時， 的最大值為，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，

所以故， ，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）由題

（1）當時， 在上單調遞增. 則函數在上的最小值是

（2）當時，令，即，令，即

（i）當，即時， 在上單調遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當，即時，由的單調性可得在上的最小值是

（iii）當，即時， 在上單調遞減， 在上的最小值是

（Ⅲ）當時，

令，則是單調遞減函數.

因為， ，

所以在上存在，使得，即

討論可得在上單調遞增，在上單調遞減.

所以當時， 取得最大值是

因為，所以由此可證

試題解析：（Ⅰ）因為函數，且，

所以，

所以

所以，

所以曲線在處的切線方程是，即

（Ⅱ）因為函數，所以

（1）當時， ，所以在上單調遞增.

所以函數在上的最小值是

（2）當時，令，即，所以

令，即，所以

（i）當，即時， 在上單調遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當，即時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上的最小值是

（iii）當，即時， 在上單調遞減，

所以在上的最小值是

綜上所述，當時， 在上的最小值是

當時， 在上的最小值是

當時， 在上的最小值是

（Ⅲ）因為函數，所以

所以當時，

令，所以是單調遞減函數.

因為， ，

所以在上存在，使得，即

所以當時， ；當時，

即當時， ；當時，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

所以當時， 取得最大值是

因為，所以

因為，所以

所以