Question

【題目】已知數列：，，，…，為1，2，3，…，的一個排列，若互不相同，則稱數列具有性質.

（1）若，且，寫出具有性質的所有數列；

（2）若數列具有性質，證明：；

（3）當時，分別判斷是否存在具有性質的數列？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)或;(2)證明見詳解;(3)時不存在,時存在,理由見詳解

【解析】

(1)根據題意直接寫數列即可;

(2)假設,則,那么最多有個結果,無法滿足個互不相同,故不滿足性質,題設得證;

(3)根據兩組1,2,3,…,中的奇偶個數,可以推導的結果中,奇數與偶數的個數組合,從而得出結論.

(1)若,且,

則具有性質的數列有兩個,

分別是或;

(2)數列:,,,…,為1,2,3,…,的一個排列,

則最多有個結果,分別是,

若,則,

時,最多有個結果,分別是,

因此,若,則最多有個結果,分別是,

無法滿足個互不相同,故不滿足性質,

因此,若數列具有性質,則;

(3)當時,不存在具有性質的數列;

當時,存在具有性質的數列.

證明如下:

當時,:,,,…,為1,2,3,…,7的一個排列,

若其具有性質,則的結果應該分別是,

包含3個奇數,4個偶數,

而兩組1,2,3,…,7中,包含8個奇數,6個偶數,

其中,3個奇數與3個偶數相減能得到結果中的3個奇數,

但剩下的5個奇數和3個偶數組合無法減出4個偶數,

因此時,不存在具有性質的數列;

若,則兩組1,2,3,…,8中包含8個奇數,8個偶數,

可以組合相減得到,這4個偶數,4個奇數,

因此時,存在具有性質的數列.