Question

【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下.根據壽命將燈泡分成優等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.

壽命（天）	頻數	頻率
合計

（1）根據頻率分布表中的數據，寫出、的值；

（2）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求的最小值；

（3）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）分布列見解析，.

【解析】

（1）根據頻數、頻率和樣本容量之間的關系可得出、的值；

（2）由頻率分布表知按分層抽樣法，購買燈泡數個，由此能求出的最小值；

（3）的所有取值為、、、，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和數學期望.

（1）由題意可得，；

（2）由表可知：燈泡樣品中優等品有個，正品有個，次品有個，

優等品、正品和次品的比例為，

按分層抽樣法，購買燈泡數為個，

因此，的最小值為；

（3）的所有取值為、、、，

由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為，

從本批次燈泡中購買個，可看成次獨立重復試驗，則.

，，

，.

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

因此，隨機變量的數學期望為.