Question

【題目】設橢圓 的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為 ，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x0，y0），∴ ①

∵橢圓 的左右頂點分別為A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）

∴ ，

∵直線AP與BP的斜率之積為 ，∴

代入①并整理得

∵y0≠0，∴a2=2b2

∴

∴

∴橢圓的離心率為 ；

（2）證明：依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x0，kx0），∴

∵a＞b＞0，kx0≠0，∴

∴ ②

∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0），

∴

∴

∴

代入②得

∴k2＞3

∴直線OP的斜率k滿足|k|＞

【解析】（1）設P（x0 ， y0），則 ，利用直線AP與BP的斜率之積為 ，即可求得橢圓的離心率；（2）依題意，直線OP的方程為y=kx，設P（x0 ， kx0），則 ，進一步可得 ，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得 ，從而可求直線OP的斜率的范圍．