Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(ax)

x+1

，曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x-2y=0平行．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≤b-

2

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于

1

2

，求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）由題得：b≥

2+lnx

x+1

（x＞0）恒成立，構(gòu)造g（x）=

2+lnx

x+1

，求出g（x）_max=1，即可求實(shí)數(shù)b的最小值．

解答： 解：（1）f'（x）=

1 x (x+1)-lnax

(x+1)2

=

1+ 1 x -lnax

(x+1)2

，
由f'（1）=

2-lna

4

=

1

2

，解得a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=

lnx

x+1

，∴由題得：b≥

2+lnx

x+1

（x＞0）恒成立，
設(shè)g（x）=

2+lnx

x+1

，則g'（x）=

1 x -lnx-1

(x+1)2

，再設(shè)h（x）=

1 x -lnx-1

(x+1)2

，則h'（x）=-

x+1

x2

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上遞減，
又h（1）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴只需b≥g（x）_max=1，即b≥1，
∴b的最小值b_min=1．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，考查函數(shù)的最值，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵，是中檔題．