Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2n-a_n（n∈N⁺）．
（1）計算數(shù)列{a_n}的前4項；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）取n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，然后仔細(xì)觀察，總結(jié)規(guī)律，猜測a_n的值．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，①當(dāng)n=1時，命題成立；②假設(shè)n=k時，命題成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，當(dāng)n=k+1時，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，可得當(dāng)n=k+1時，命題成立，故a_n=

2n-1

2n-1

都成立．

解答： 解：（1）計算得：a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

，猜想a_n=

2n-1

2n-1

；
（2）①n=1時，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
則當(dāng)n=k+1時，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，
∴S_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴2k-a_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴a_k+1=

2k+1-1

2k

．
這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
由①②可知a_n=

2n-1

2n-1

對n∈N₊均成立．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，解題時注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過程．