Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且滿足右焦點（c，0）到直線x=

3

的距離為

3

，
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知A（2，-1），過原點且斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點，求△APQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設右焦點為（c，0）（c＞0）通過|c-

3

|=

3

，求出c，利用離心率求出a，然后求解b，即可求出橢圓的標準方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）將直線l方程：y=kx與橢圓方程聯立消y得求出x，利用弦長公式，以及點到直線的距離求出三角形的高，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出面積的最大值．

解答： 解：（1）設右焦點為（c，0）（c＞0）依題意可知|c-

3

|=

3

，
∴c=2

3

或c=0(舍去)，…（2分）
又∵離心率為

3

2

，∴a=4故b²=a²-c²=4，
因此橢圓的方程為：

x2

16

+

y2

4

=1；…（4分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將直線l方程：y=kx與橢圓方程聯立消y得（1+4k²）x²-16=0，所以x2=

16

1+4k2

…（6分）
∴|PQ|=

1+k2

|x₂-x₁|=

1+k2

×2×

16 1+4k2

，…（8分）
又∵點A到直線l的距離d=

|2k+1|

1+k2

，…（9分）
故△APQ的面積=

1

2

|PQ|•d=4×

|2k+1|

1+k2

=4×

4k2+4k+1 1+4k2

=4×

1+ 4k 1+4k2

=4×

1+ 4 1 k +4k

，…（11分）
當k＞0時，

1

k

+4k≥4（當且僅當k=

1

2

時，取等號）．
故△APQ的面積有最大值4

2

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系，橢圓方程的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．