Question

（本題滿分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，側棱與底面所成角為，點在底面上射影D落在BC上．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若點D恰為BC中點，且，求的大小；
（III）若，且當時，求二面角的大小．

Answer 1

解：（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC平面ABC，∴
又∵，，∴AC⊥平面 
（II）
∴四邊形為菱形，   又∵D為BC的中點，
∴為側棱和底面所成的角，∴
∴，即側棱與底面所成角．
（III）以C為原點，CA為x軸CB為y軸，過C點且垂直于平面ABC的直線為Z軸，建立空間直角坐標系，
則A（a,0,0），B(0,a,0)，，平面ABC的法向量，設平面ABC₁的法向量為，
由，即， ，
∵二面角大小是銳二面角，∴二面角的大小是.   

略