Question

．(本小題滿分14分)三棱柱的直觀圖及三視圖（主視圖和俯視圖是正方形，左側圖是等腰直角三角形）如圖，為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的正切值.

Answer 1

解:由三視圖可知，幾何體為直三棱柱—，側面

為邊長為2的正方形，底面是等腰直角三角形，………２分（1）連BC交于O，連接OD，在中，O，D分別是，
AC的中點，
而平面，平面，平面………………..４分
（2）直三棱柱—中，平面，平面，
，，D為AC的中點，，
平面，①………………..６分
又，
在正方形②………………..８分
由①②，又，
……………………………………………………………9
（3）解法一；提示：所求二面角與二面角C--D互余……………………………………..12
取BC中點H，有DH⊥平面，過H作垂線，垂足為E，

所以二面角C--D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分
，因為二面角A--D與二面角C--D互余，所以二面角A--D的正切值為；……………..14

B

解法二（補形）如圖補成正方體，易得∠O₁OS為二面角的平面角，

……………..14
解法三（空間向量法）以為原點建系，易得
設平面D的法向量由
得令得…………..12
又平面A的法向量
設二面角A--D的平面角為
所以…………..14

略