Question

如圖，A、B、C、D是空間四點，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等邊△ADB所在的平面以AB為軸可轉動．
（Ⅰ）當平面ADB⊥平面ABC時，求三棱錐D-ABC的體積；
（Ⅱ）當△ADB轉動過程中，是否總有AB⊥CD？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取出AB中點E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，由勾股定理可得CE的長，進而可得三角形ABC的面積，由棱錐的體積公式可得答案．
（Ⅱ）總有AB⊥CD，當D∈面ABC內時，顯然有AB⊥CD，當D在而ABC外時，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．
解答：解：（Ⅰ）取AB的中點E，連接DE，CE，
因為ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB．
當平面ADB⊥平面ABC時，
因為平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE
由已知可得 ，
則S_△ABC=1，
V_D-ABC=××1=．
（Ⅱ）當△ADB以AB為軸轉動時，總有AB⊥CD．
證明：（ⅰ）當D在平面ABC內時，因為AC=BC，AD=BD，
所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD．
（ⅱ）當D不在平面ABC內時，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．
又DE，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD．
綜上所述，總有AB⊥CD．
點評：本題考查用線面垂直的方法來證明線線垂直，解答的關鍵是答題者的空間想象能力．