Question

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超過x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）若將頻率視為概率，從該城市居民中隨機抽取3人，記這3人中月均用水量不低于3噸的人數為X，求X的分布列與數學期望．
（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值（精確到0.01），并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據頻率和為1，得 （0.06+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.06+0.03）×0.5=1，
解得a=0.30；
（Ⅱ）月均用水量不低于3噸的頻率為
（0.11+0.06+0.03）×0.5=0.1，
則p=0.1，抽取的人數為X，
則X的可能取值為0，1，2，3；
∴P（X=0）= 0.93=0.729，
P（X=1）= 0.10.92=0.243，
P（X=2）= 0.120.9=0.027，
P（X=3）= 0.13=0.001；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

數學期望為EX=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3；
（Ⅲ）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數所占的百分比為
0.5×（0.06+0.18+0.3+0.42+0.52）=0.73，
即73%的居民月均用水量小于2.5噸；
同理，88%的居民月均用水量小于3噸；
故2.5＜x＜3，
假設月均用水量平均分布，則
x=2.5+0.5× =2.9（噸），
即85%的居民每月用水量不超過標準為2.9噸
【解析】（Ⅰ）根據頻率和為1，列出方程求得a的值；（Ⅱ）計算月均用水量不低于3噸的頻率值，由抽取的人數X的可能取值為0，1，2，3； 計算對應的概率值，寫出X的分布列，計算數學期望值；（Ⅲ）計算月均用水量小于2.5噸和小于3噸的百分比，
求出有85%的居民月用水量不超過的標準值．