Question

已知A（1，0），B（4，0），動(dòng)點(diǎn)T（x，y）滿足

|TA|

|TB|

=

1

2

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)T的軌跡是曲線C，直線l：y=kx+1與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=-2，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）過點(diǎn)（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)D（x，y）為曲線C上任一點(diǎn)，由動(dòng)點(diǎn)T（x，y）滿足

|TA|

|TB|

=

1

2

，利用兩點(diǎn)間距離公式能求出曲線C的方程．
（2）因?yàn)?span id="0sc0wgy" class="MathJye">

OP

•

OQ

=2×2×cos∠POQ=-2，所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，由此利用圓心到直線l：kx-y+1=0的距離能求出k．
（3）當(dāng)k=0時(shí)，四邊形PMQN面積為4

3

．當(dāng)k≠0時(shí)，圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=

1

k2+1

，S_PMQN=

1

2

|MN||PQ|=2

4- 1 k2+1

•

3+ 1 k2+1

，由此能求出四邊形PMQN面積最大值．

解答：解：（1）設(shè)D（x，y）為曲線C上任一點(diǎn)，
∵動(dòng)點(diǎn)T（x，y）滿足

|TA|

|TB|

=

1

2

，
∴

|CA|

|CB|

=

1

2

=

(x-1)2+y2

(x-4)2+y2

，
化簡(jiǎn)整理得x²+y²=4．
∴曲線C的方程為x²+y²=4．（3分）
（2）因?yàn)?span id="2o0yyeg" class="MathJye">

OP

•

OQ

=2×2×cos∠POQ=-2，
所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=

1

k2+1

=1，
所以k=0．（6分）
（3）當(dāng)k=0時(shí)，|MN|=2

3

，|PQ|=4，SPMQN=

1

2

×2

3

×4=4

3

當(dāng)k≠0時(shí)，圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=

1

k2+1

，
所以|MN|=2

4- 1 k2+1

l1：y=-

1

k

x+1，
同理得|PQ|=2

4- 1 (- 1 k )2+1

=2

4- k2 k2+1

=2

3+ 1 k2+1

，
∴S_PMQN=

1

2

|MN||PQ|=2

4- 1 k2+1

•

3+ 1 k2+1

，
S=2

-( 1 k2+1 - 1 2 )2+ 49 4

≤2×

7

2

=7，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)k=±1時(shí)，S_max=7，
綜上所述，當(dāng)k=±1時(shí)，四邊形PMQN面積有最大值7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．