Question

【題目】如圖1，在高為2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，過A，B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F.已知DE＝1，將梯形ABCD沿AE，BF同側折起，得空間幾何體ADEBCF，如圖2.若DE∥CF，CD＝，在線段AB上是否存在點P，使得CP與平面ACD所成角的正弦值為？并說明理由.

Answer 1

【答案】存在；詳見解析

【解析】

由已知可得AE⊥平面DEFC，在梯形中，根據長度關系可得，建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面ACD的法向量坐標，設，將坐標用表示，根據線面角公式結合已知，即可求解.

當P為AB的中點時滿足條件.理由如下：

∵AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，∴AE⊥平面DEFC.

取中點，連，

四邊形為平行四邊形，，

如圖，過E作EG⊥EF交DC于點G，

可知GE，EA，EF兩兩垂直，以E為坐標原點，

以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，1，），

D，，

設平面ACD的法向量為＝（x，y，z），

則，即，

令x＝1，得.

設，

則，λ∈（0，＋∞），

可得.

設CP與平面ACD所成的角為θ，

則，

整理得，解得λ＝1或λ＝（舍去），

∴P為AB的中點時，滿足條件.