Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求實數的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），證明見解析

【解析】

（1）先求導可得,分別討論和的情況,進而求解即可；

（2）設,當時由單調則不符合題意；當時,,可得,利用零點存在性定理可判斷,,進而求解即可；由于,可得,,則,設可得,進而證明在時恒成立即可

（1）由題意得,

①當時,,所以在上單調遞增；

②當時,由,得,

當時,,在上單調遞減；

當時,,在上單調遞增.

（2）由于有兩個零點,不妨設,

由（1）可知,當時,在上單調遞增,不符合題意；

當時,,,即,解得,

此時有,所以存在,使得,

由于,所以在上單調遞增,

所以當時,,所以在上單調遞增,

所以當時,；

所以,

所以存在,使得,

綜上,當時,有兩個零點.

證明:由于,,且,則,

所以,,所以,

設,有,則,

要證,只需證,即證,

設,則,

所以在上單調遞增,所以當時,,即,

故