Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當t≥1時，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令g（x）=2x2+2x+a，判別式為：△=4﹣8a，

①：當△=4﹣8a≤0，得 ，

此時g（x）≥0，從而f'（x）≥0，

所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

②：當△=4﹣8a＞0，即 ，

令g（x）=2x2+2x+a=0，得方程的根 （舍去）， ，

若a＜0，此時x2＞0，g（x）＞0，得 ，

由g（x）＜0，得 ，

∴f（x）在 上單調遞增，在 單調遞減，

若 ，此時g（x）=2x2+2x+a的對稱軸為 ，g（0）=a＞0，

∴g（x）＞g（0）=a＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

綜上：當a≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；

當a＜0，f（x）在 上單調遞增， 單調遞減

（2）解：由題意有（2t﹣1）2+2（2t﹣1）+aln（2t﹣1）≥2t2+4t+2alnt﹣3恒成立，

即a[ln（2t﹣1）﹣2lnt]≥﹣2t2+4t﹣2，

即a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，

當t=1時，不等式顯然恒成立，

當t＞1時，t2﹣（2t﹣1）=（t﹣1）2＞0，

所以t2＞2t﹣1，則lnt2＞ln（2t﹣1），

于是 ，在t＞1上恒成立，

令 ，

設A（t2，lnt2），B（2t﹣1，ln（2t﹣1）），

則 ，且A，B兩點在y=lnx的圖象上，

又t2＞1，2t﹣1＞1，

故0＜kAB＜y'|x=1=1，

所以 ，

故a≤2為所求

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）根據a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，得到t=1時，不等式顯然恒成立，當t＞1時，問題轉化為 ，在t＞1上恒成立，令 ，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．