Question

設數列的前項和為，且方程有一個根為，．

（1）證明：數列是等差數列；

（2）設方程的另一個根為，數列的前項和為，求的值；

（3）是否存在不同的正整數，使得，，成等比數列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）利用等差數列的定義證明即可，（2），（3）存在不同的正整數，使得，，成等比數列

【解析】

試題分析：（1）∵是方程的根，

∴

當時，，∴，

解得，∴                       2分

當時，，∴

化簡得,∴，∴，

∴，又                  5分

∴數列是以為首項，為公差的等差數列         6分

（2）由（1）得，

∴，帶入方程得，，∴,

∴原方程為，∴，∴     8分

∴                ①

          ②

① — ②得

   11分

,∴                          12分

（3）由（1）得，，假設存在不同的正整數，使得，，成等比數列，則

即,∵               14分

∴,化簡得，

∴,又∵，且

∴∴，∴                   16分

∴存在不同的正整數，使得，，成等比數列

考點：本題考查了數列的通項與求和

點評：數列的通項公式及應用是數列的重點內容，數列的大題對邏輯推理能力有較高的要求，在數列中突出考查學生的理性思維，這是近幾年新課標高考對數列考查的一個亮點，也是一種趨勢．隨著新課標實施的深入，高考關注的重點為等差、等比數列的通項公式，錯位相減法、裂項相消法等求數列的前n項的和等等